Introduktion

Hvad er signalbehandling? Nogle gange kan det føles som at tyde usynlige hieroglyffer! Signalbehandling handler om at bearbejde, analysere og fortolke signaler i elektriske eller elektroniske systemer. Et signal kan være enhver form for meningsbærende information, eksempelvis lyd, billeder eller andre data. Signalbehandling bruger matematiske algoritmer og teknikker til at analysere og ændre signaler, såsom filtrering, komprimering, forbedring og genkendelse.

Signalbehandling spiller en afgørende rolle i moderne teknologi som telekommunikation, lyd- og videobehandling, biomedicinsk teknik, reguleringssystemer og computerteknik. Her repræsenterer og formidler signaler information, og signalbehandling kan udtrække og isolere den nyttige information og forbedre signalkvaliteten.
Et eksempel er at fjerne baggrundsstøj fra en stemmeoptagelse eller udglatte et billede med uønsket støj. Det kan også være at afkode et uklart indgangssignal til et tydeligt signal som i figur 1.

Figur 1: Tilsyneladende tilfældige bogstaver viser sig at indeholde en skjult besked efter lidt signalbehandling (røde bogstaver).
*Illustrationen viser kun princippet

Figur 1 illustrerer kun princippet: Små bogstaver fjernes fra indgangssignalet for at afsløre beskeden. Det kan sammenlignes med at fjerne bestemte uønskede frekvenser fra et signal. Sådan fungerer eksempelvis radioer. En radio opfanger radiobølger, som er elektromagnetiske bølger udsendt af en antenne. Forskellige frekvenser bærer information til forskellige radiokanaler. Ved at indstille modtageren til en bestemt frekvens vælger du et signal og dermed en kanal. Det minder om at tyde usynlige hieroglyffer, og sådan kan signalbehandling være! Målet er at udtrække meningsfuld information fra signaler og omforme den til noget, der er nyttigt i den konkrete anvendelse. 

Her gennemgår vi nogle grundlæggende matematiske algoritmer og teknikker til signalbehandling. Men før vi præsenterer dem, begynder vi med en enklere forklaring.

I elektronik arbejder vi ofte med signaler i tid og frekvens.
Signaler kan derfor ses i både tids- og frekvensdomænet. I tidsdomænet beskriver vi signalets værdi til hvert tidspunkt. I frekvensdomænet beskriver vi amplituder og faser for signalets frekvenskomponenter. En bestemt spænding indebærer ikke en bestemt frekvens.

De matematiske værktøjer, vi præsenterer, hedder Fouriertransformationen, Laplacetransformationen og Z-transformationen. Alle bruges til signalbehandling og analyse. De har både ligheder og tydelige forskelle. Nedenfor ses en oversigt.

Nogle ord nedenfor er links til den del, hvor de forklares nærmere

1. Domæne

   Fouriertransformationen arbejder med tidskontinuerte signaler i tidsdomænet.
   
   Denne Laplacetransformation arbejder i sin sædvanlige form med tidskontinuerte signaler.
   
   Z-transformationen arbejder udelukkende med tidsdiskrete signaler i tidsdomænet.
   
   

2. Kompleksitet og matematik

   Fouriertransformationen involverer komplekse eksponentialfunktioner.
   
   Laplacetransformationen bruger et integral med en kompleks eksponentialkerne; komplekse logaritmer indgår ikke i den definerende kerne.
   
   Z-transformationen involverer komplekse eksponentialfunktioner og komplekse polynomier.
   
   

3. Stabilitetsanalyse

   Stabilitetsanalyse er den del af system- og reguleringsteori, der undersøger og forudsiger et systems stabilitet eller ustabilitet.
   
   Laplacetransformationen bruges ofte til stabilitetsanalyse af lineære tidsinvariante systemer (LTI).
   Z-transformationen bruges til stabilitetsanalyse af digitale filtre, eksempelvis et filter, der fjerner baggrundsstøj fra en stemmeoptagelse.
   
   Fouriertransformationen giver ikke en direkte metode til stabilitetsanalyse.
   
   

4. Repræsentation i frekvensdomænet

   Fouriertransformationen afbilder et signal fra tidsdomænet til det kontinuerte frekvensdomæne.
   
   Laplacetransformationen afbilder et signal fra tidsdomænet til det komplekse frekvensdomæne.
   
   Z-transformationen afbilder et signal fra tidsdomænet til det komplekse frekvensdomæne og bruges til tidsdiskrete signaler.
   
   

Hver transformation har altså særlige egenskaber og anvendelser, og valget afhænger af kravene i det konkrete signalbehandlingsproblem.

Hvad er tidskontinuerte og tidsdiskrete signaler?
Forskellen mellem disse signaltyper vedrører tidsaksen i figur 2 nedenfor. Hvis signalet er defineret for alle tidsværdier, t, kaldes det tidskontinuert som i figur 2a og 2b.
Et tidsdiskret signal er derimod ikke defineret for alle værdier af t som i figur 2c og 2d.

Figur 1: Grafer med tidskontinuerte og tidsdiskrete signaler, hvor
t = tid
x(t) er en funktion af tiden

a) Tidskontinuert signal som en sinusbølge, fordi t er defineret for alle tidspunkter
b) Et digitalt tidskontinuert signal, fordi t er defineret for alle tidspunkter.
c) Her ses en sinusbølge som et tidsdiskret signal, fordi t ikke er defineret for alle tidspunkter
d) Her er sekvenserne eller pulserne ikke defineret for alle værdier af t, så d er et tidsdiskret signal. 

Hvad er et lineært tidsinvariant system (LTI)?
Et system er lineært, når det opfylder superposition: T[a x1 + b x2] = a T[x1] + b T[x2]. Det omfatter additivitet og skalering, ikke blot hændelser udført i rækkefølge.
Et system er tidsinvariant, hvis en forsinkelse af indgangen giver den samme forsinkelse af udgangen uden ellers at ændre responsen. Ikke alle systemer er lineære eller tidsinvariante.

Hvordan gælder disse egenskaber for virkelige signaler? Med samme princip som for tal kan vi sende den røde og den blå bølge hver for sig gennem et LTI-system. Vi får da de tilsvarende udgange, vist som lilla og turkise kurver i figur 3.

Figur 3: Rød og blå sendes ind i et LTI-system, og lilla og turkis er
de tilsvarende udgange.

Sender vi derefter summen af de to tidligere indgange ind, får vi summen af de to tidligere udgange, se figur 4. 

Figur 4: Her er rød og blå én samlet indgang, mens lilla og turkis er den tilsvarende udgang.

Sammenhængen mellem figur 3 og 4 kaldes superpositionsprincippet eller superpositionsegenskaben. For alle lineære systemer er den samlede respons fra to eller flere påvirkninger summen af responserne fra hver påvirkning for sig.

Dette gælder ikke for ikke-lineære systemer, som generelt ikke opfylder superpositionsrelationen ovenfor. Det lyder kompliceret, så det lader vi ligge indtil videre.  


Hvad er kompleks frekvens?
Kompleks frekvens er ikke en mystisk ekstra dimension. I Laplacetransformationen kombinerer s = σ + jω eksponentiel vækst eller dæmpning (σ) og vinkelfrekvens (ω). Det er noget andet end at beskrive en sinusfunktion med faseinformation. Fase – hvad er det? Et signal kan ikke bestemmes entydigt alene ud fra amplitude og frekvens; fasen skal også angives. Til det bruger vi en særlig taltype kaldet komplekse tal. Hvad er de så? De kan ses som et værktøj til gyldige genveje i arbejdet med elektriske systemer. Komplekse tal skrives ofte a+ib, hvor a og b er reelle tal, og i er den imaginære enhed, også kaldet iota. Navnet ”imaginær” kan virke forvirrende, men hæng på! Hvis du er matematisk interesseret, overrasker det måske, at i = √−1. Ja, der står et negativt tal under kvadratrodstegnet!
For z = 2+3i er realdelen Re(z) = 2 og imaginærdelen Im(z) = 3. Det imaginære led er 3i; i er den imaginære enhed med i² = −1.

Fouriertransformation

Fouriertransformationen opdeler signaler i deres frekvenskomponenter. Den repræsenterer signaler som en sum af simple sinusfunktioner, se figur 2a, hvilket gør dem lettere at analysere, ændre og fortolke.

Fouriertransformationen afbilder et signal fra tidsdomænet, hvor det er en funktion af tid, til frekvensdomænet, hvor det er en funktion af frekvens.          
Det kan eksempelvis bruges til at isolere ønskede frekvenser fra indgangen ved at filtrere frekvenser uden for en bestemt grænse væk fra udgangen.  

Fouriermetoder omfatter den tidskontinuerte Fouriertransformation, den tidsdiskrete Fouriertransformation (DTFT) og den diskrete Fouriertransformation (DFT).

DFT repræsenterer en endelig sekvens af målepunkter med et endeligt antal frekvenspunkter; DTFT beskriver en tidsdiskret sekvens med en kontinuert, periodisk frekvensvariabel.
CFT bruges til tidskontinuerte signaler.

Laplacetransformation

Laplacetransformationens hovedformål er at forenkle matematikken for signalers ind- og udgange. Den omformer et signal fra tidsdomænet til det komplekse frekvensdomæne, hvor det lettere kan analyseres og bearbejdes, frem for at løse det i tidsdomænet, hvor beregningen kan være mere kompliceret.

Z-transformation

Z-transformationen er et matematisk værktøj til analyse og repræsentation af tidsdiskrete signaler i digital signalbehandling. Ligesom Laplacetransformationen kan den forenkle matematikken. Den omformer et tidsdiskret signal fra tidsdomænet til det komplekse frekvensdomæne, hvor det lettere kan analyseres og bearbejdes.

Z-transformationen afbilder et tidsdiskret signal til en kompleksværdig funktion i frekvensdomænet, signalets Z-transformation. Det gør det muligt at analysere og designe digitale filtre og udføre andre operationer på tidsdiskrete signaler, såsom filtrering, komprimering og genkendelse.

En vigtig fordel ved Z-transformationen er muligheden for at analysere og designe digitale filtre til mange anvendelser, herunder telekommunikation, lyd- og videobehandling og reguleringssystemer.

Ud over digital signalbehandling bruges Z-transformationen til analyse af lineære tidsinvariante systemer, hvor den giver en praktisk repræsentation af systemets overføringsfunktion i frekvensdomænet.

Fouriertransformationen, Laplacetransformationen og Z-transformationen er således stærke og udbredte matematiske værktøjer, som giver værdifuld indsigt i mange systemers opførsel og egenskaber.