Introduktion
Så hvad er signalbehandling? Det kan nogle gange være som at fortolke usynlige hieroglyffer! Et signal kan være enhver form for information, der formidler mening, såsom lyd, billeder eller andre data - ja, endda røgsignaler. Signalbehandling i dette omfang refererer til manipulation, analyse og fortolkning af signaler i elektriske eller elektroniske systemer. Signalbehandling indenfor elektroteknik involverer matematiske algoritmer og teknikker, der bruges til at analysere og ændre signaler, såsom filtrering, komprimering, forbedring og genkendelse.
Derfor har signalbehandling en fundamental rolle i mange moderne teknologier og applikationer blandt andet indenfor telekommunikation, lyd- og videobehandling, biomedicinsk teknik, kontrolsystemer og computerteknik. I disse felter bruges signaler til at repræsentere og kommunikere information, og signalbehandling benyttes til at udtrække og isolere denne nyttige information og/eller forbedre signalets kvalitet.
Et eksempel på dette kunne være fjernelse af baggrundsstøj for en stemmeoptagelse eller udjævning af et billede med en masse uønsket ''støj''. Det kunne også være at afkode et noget uklart indgangssignal til et klart signal, som det er illustreret i den følgende figur 1.
Figur 1: Det, der ser ud til at være tilfældige bogstaver, viser sig at være en skjult besked efter lidt signalbehandling (røde bogstaver).
*Bemærk, at denne illustration kun er for at demonstrere konceptet
Figur 1 fungerer blot som en illustration af konceptet, hvor de små bogstaver er afskåret fra inputsignalet for at afsløre den skjulte besked. Dette koncept kunne praktisk udspille sig som at afskære visse uønskede frekvenser fra et inputsignal. Dette er fx. måden radioer opfanger forskellige frekvenser og dermed forskellige kanaler. En radio fanger radiobølger, som er en elektromagnetisk bølge, der forplantes af en antenne. Disse radiobølger har forskellige frekvenser, som hver bærer informationen for forskellige radiokanaler. Ved at indstille en radiomodtager til en bestemt frekvens kan du opfange et bestemt signal og derved en bestemt radiokanal. Det er lidt som at afkode usynlige hieroglyffer, og det er nogle gange, hvad signalbehandling er!
For at opsummere er målet med signalbehandling at udtrække konkret information fra signaler og konvertere denne information til en form, der er nødvendig for den pågældende applikation.
I denne blog vil vi gennemgå nogle af disse grundlæggende transformationer - matematiske algoritmer og teknikker - til signalbehandling. Men før du bliver præsenteret for disse transformations-teknikker, så lad os koge det lidt ned til vores fag.
Når vi arbejder med signaler til elektronik, arbejder vi ofte med tid og frekvenser.
Så signalerne kan ses i både tids- og frekvensdomæner. Hvis vi repræsenterer transformationerne i tidsdomænet, får vi spændingsniveauer på forskellige tidspunkter. Hvis vi repræsenterer transformationerne i frekvensdomænet, får vi spændingsniveauer af forskellige frekvenser. Derfor kan der opstå situationer, hvor vi ønsker en bestemt spænding og derfor en bestemt frekvens og omvendt.
De matematiske algoritmer og teknikker, der præsenteres i denne blog er: Fourier-transformationen, Laplace-transformationen og Z-transformen. Selvom de deler nogle ligheder, har de også visse forskelle. Nedenfor ses en oversigt af lighederne og forskellene for disse transformationer.
Nogle ord, der bruges nedenfor er hyperlinks, der fører dig til det afsnit i denne blog, hvor de uddybes.
Domæne
Fourier-transformationen opererer på continuous-time signals i tidsdomænet.
Laplace-transformationen fungerer på både continuous-time og discrete-time signals.
Z-transformen fungerer udelukkende på discrete-time signals i tidsdomænet.
Kompleksitet og matematik
Fourier-transformationen involverer kompleks eksponentiel funktion.
Laplace-transformationen involverer komplekse eksponentielle funktioner og komplekse logaritmiske funktioner.
Z-transformen involverer komplekse eksponentielle funktioner og komplekse polynomier.
Stabilitetsanalyse
Stabilitetsanalyse er den del af systemer og kontrolteori, som bruges til at studere og forudsige stabilitets- eller ustabilitetskarakteristika for et system.
Laplace-transformationen bruges ofte til stabilitetsanalyse af linear time-invariant systems (LTI).
Z-transformen bruges til stabilitetsanalyse af digitale filtre (et digitalt filter kan f.eks. være en del af fjernelsen af baggrundsstøj til en stemmeoptagelse).
Fourier-transformationen giver ikke en direkte metode til stabilitetsanalyse.
Frekvens domæne repræsentation
Fourier-transformationen kortlægger et signal fra tidsdomænet til det continuous frequency domain
Laplace-transformationen kortlægger et signal fra tidsdomænet til complex frequency domain
Z-transformen kortlægger et signal fra tidsdomænet til det komplekse frekvensdomæne og bruges til discrete-time signals.
For at opsummere så har hver af disse transformationer sine egne unikke funktioner og applikationer og beslutningen for hvilken transformation, som skal benyttes, afhænger af de specifikke krav til det signalbehandlingsproblem, der behandles.
Hvad er continuous-time og discrete-time signals?
Så forskellen mellem disse to typer signaler er relateret til tidsaksen t på grafen vist nedenfor i figur 2. Hvis signalet er defineret for alle værdierne af tid, t, så siges signalet at være et continuous time signal, som vi ser i figur 2a og 2b.
Hvis signalet er et discrete time signal, vil det betyde, at signalet ikke er defineret for alle værdier af t, som vi ser i figur 2c og 2d.
Figur 2: Er en illustration af grafer, der viser continuous og discrete time signals, hvor,
t = tid
x(t) en eller anden funktion af tid
(a) Continuous time signal i form af en sinusbølge, fordi t er defineret for alle tidsværdier
(b) Et digitalt continuous time signal , fordi t er defineret for alle tidsværdier.
(c) Her ser vi en sinusbølge i form af et discrete time-signal, fordi t ikke er defineret for alle tidsværdier.
(d) Her ser vi, at sekvenserne, eller impulserne, ikke er defineret for alle værdier af t, og derfor er (d) et discrete time-signal.
Så hvad er et Linear Time Invariant Sytems (LTI)?
Generelt betyder lineær en række begivenheder eller tanker, hvor den ene direkte følger den anden. Så fx. så tager vi summen af to tal på en lineær måde - hvis vi lægger 2 til 3 starter vi ved 2 og tæller 3. Dette er linearitet.
Hvis vi lægger 2 til 3, er svaret stadig det samme, uanset hvilket tidspunkt vi måtte befinde os i. Det koncept er ''tids-invarianten'' i LTI-systemer. Jeg ved, at det kan lyde meget simpelt, MEN ikke alle systemer er lineære eller tidsinvariante.
Så vi har lige gennemgået et eksempel med tallene 2 og 4. Men hvad nu hvis vi ikke har nogle tal-cifre men andre slags signaler? Hvis vi forestiller os det samme koncept for signaler, som vi gjorde med tallene, kan vi sætte en situation op, hvor vi inputter denne røde bølge og denne blå bølge separat i et LTI-system. Vi får så de tilsvarende to outputs, der består af de lilla og turkise linjer, se figur 2.
Figur 3: Rød og blå er input til et LTI-system og lilla og turkis er deres tilsvarende output.
Så hvis vi inputter summen af de to foregående input, vil vi så få summen af de to foregående output, se figur 4.
Figur 4: Her er de røde og blå et enkelt input, og den lilla og turkise er dens tilsvarende output.
Denne lighed, vi ser for figur 3 og 4, er kendt som superpositionsprincippet, også kendt som superposition property. Helt væsentligt kan man sige at for alle lineære systemer er nettoresponsen, forårsaget af to eller flere stimuli, summen af de responser, der ville have været forårsaget af hvert stimulus individuelt.
Dette ikke gældende for ikke-lineære systemer fordi at et ikke-lineært system er defineret som et system, hvor ændringen af output ikke er proportional med ændringen af input. Det lyder virkelig rodet, hva'. Sååå, lad os ligge ikke-linære systemer til siden. For nu. Et godt solidt skridt ad gangen er sommetider den hurtigste metode.
Hvad er en kompleks frekvens/complex frequency?
Betyder kompleks frekvens, at der er en frekvens et sted i den femte dimension, som vi skal opdage med fantasiens kraft? Nej, desværre - det ville være alt for fedt. Kompleks frekvens betyder simpelthen frekvens med fase-information. Fase? Hvad er det? For at forstå det, skal man huske på det faktum, at man ikke entydigt kan definere et signal blot ved dets amplitude og frekvens, som det besidder. Men man skal også angive fasen for det signal. Du skal ikke bekymre dig for meget om det nu. Til det benyttes en anden type af tal kaldet "komplekse tal". Okay, nu ved vi, hvor vi får udtrykket complex frequency fra. Men hvad er meningen med disse komplekse tal? Tjo, indenfor dette fag kan man tænke på komplekse tal som et værktøj til at tage gyldige genveje, når du arbejder med elektriske systemer og elektronik.
Komplekse tal udtrykkes ofte i form af a+ib, hvor a, b er reelle tal, og 'i' er et imaginært tal ved navn "iota". Det kaldes bare imaginært for at forvirre en endnu mere, men hæng på! Så komplekse tal består af en reel- og imaginær-del. Eller for at være helt nøjagtig så består komplekse tal af ét reelt tal og et andet reelt tal ganget med den imaginære enhedsstørrelse iota, i. Hvis du er lidt af en matematiker, vil det måske overraske dig, når jeg fortæller dig, at værdien af i = (√-1). Ja, det er et negativt tal under en kvadratrod. Deal with it!
For at opsummere; vi har det komplekse tal 2 + 3i. 2 er her den reelle del - dette angives med (Re). 3i er den imaginære del og dette er angivet med (Im).
Fourier Transformation
Fourier-transformationen nedbryder signaler til deres konstituerende frekvenser. Det giver en måde at repræsentere signaler som en sum af simple sinusformede funktioner (se figur 2a), hvilket gør det lettere at analysere, manipulere og fortolke signalerne.
Fourier-transformationen kortlægger et signal fra tidsdomænet, hvor signalet er repræsenteret som en funktion af tiden, til frekvensdomænet, hvor signalet er repræsenteret som en funktion af frekvensen.
Dette koncept kan fx. være et værktøj til at isolere specifikke ønskede frekvenser fra input, ved at filtrere frekvenser, der falder uden for en vis grænse.
Der er to typer Fourier-transformationer:
den diskrete Fourier-transformation (DFT) og den kontinuerlige Fourier-transformation (CFT).
DFT'en bruges til at behandle discrete-time signals.
CFT'en bruges til at behandle continuous-time signals.
Laplace Transformation
Hovedformålet med laplace-transformationen er at forenkle matematikken for input og output af signaler. Laplace Transformationen transformerer et signal fra tidsdomænet til det komplekse frekvensdomæne, hvor det lettere kan analyseres og manipuleres i stedet for at løse dem i tidsdomænet, hvor løsningen kan være mere kompleks at opnå.
Z-Transformation
Z-transformen er et matematisk værktøj, der bruges i digital signalbehandling til analyse og repræsentation af tidsdiskrete signaler. Ligesom Laplace-transformationen kan Z-transformationen også forenkle den underliggende matematik. Det transformerer et tidsdiskret signal fra tidsdomænet til det komplekse frekvensdomæne, hvor det lettere kan analyseres og manipuleres.
Z-transformationen kortlægger et tidsdiskret signal til en funktion med kompleks værdi i frekvensdomænet, kendt som signalets Z-transformation. Denne transformation gør det muligt at analysere og designe digitale filtre og at udføre andre operationer på tidsdiskrete signaler, såsom filtrering, komprimering og genkendelse.
En af de vigtigste fordele ved Z-transformen er, at den giver en måde at analysere og designe digitale filtre på, som bruges til at behandle signaler i en lang række applikationer, herunder telekommunikation, lyd- og videobehandling og kontrolsystemer. Ud over dens anvendelser inden for digital signalbehandling, bruges Z-transformen også til analyse af linear time-invariant systems, hvor den giver en bekvem måde at repræsentere systemoverførselsfunktionen i frekvensdomænet.
Overordnet set er Fourier-transformationen, Laplace-transformationen og Z-transformen kraftfulde og meget anvendte matematiske værktøjer, der giver værdifuld indsigt i mange systemers adfærd og egenskaber.
