Introduktion

Så hvad er signalbehandling? Det kan nogle gange være som at fortolke usynlige hieroglyffer! Et signal kan være enhver form for information, der formidler mening, såsom lyd, billeder eller andre data - ja, endda røgsignaler. Signalbehandling i dette omfang refererer til manipulation, analyse og fortolkning af signaler i elektriske eller elektroniske systemer. Signalbehandling indenfor elektroteknik involverer matematiske algoritmer og teknikker, der bruges til at analysere og ændre signaler, såsom filtrering, komprimering, forbedring og genkendelse.
Derfor har signalbehandling en fundamental rolle i mange moderne teknologier og applikationer blandt andet indenfor telekommunikation, lyd- og videobehandling, biomedicinsk teknik, kontrolsystemer og computerteknik. I disse felter bruges signaler til at repræsentere og kommunikere information, og signalbehandling benyttes til at udtrække og isolere denne nyttige information og/eller forbedre signalets kvalitet.

Et eksempel på dette kunne være fjernelse af baggrundsstøj for en stemmeoptagelse eller udjævning af et billede med en masse uønsket ''støj''. Det kunne også være at afkode et noget uklart indgangssignal til et klart signal, som det er illustreret i den følgende figur 1.


Figur 1:  Det, der ser ud til at være tilfældige bogstaver, viser sig at være en skjult besked efter lidt signalbehandling (røde bogstaver).
*Bemærk, at denne illustration kun er for at demonstrere konceptet

Figur 1 fungerer blot som en illustration af konceptet, hvor de små bogstaver er afskåret fra inputsignalet for at afsløre den skjulte besked. Dette koncept kunne praktisk udspille sig som at afskære visse uønskede frekvenser fra et inputsignal. Dette er fx. måden radioer opfanger forskellige frekvenser og dermed forskellige kanaler. En radio fanger radiobølger, som er en elektromagnetisk bølge, der forplantes af en antenne. Disse radiobølger har forskellige frekvenser, som hver bærer informationen for forskellige radiokanaler. Ved at indstille en radiomodtager til en bestemt frekvens kan du opfange et bestemt signal og derved en bestemt radiokanal. Det er lidt som at afkode usynlige hieroglyffer, og det er nogle gange, hvad signalbehandling er!

For at opsummere er målet med signalbehandling at udtrække konkret information fra signaler og konvertere denne information til en form, der er nødvendig for den pågældende applikation.

I denne blog vil vi gennemgå nogle af disse grundlæggende transformationer - matematiske algoritmer og teknikker - til signalbehandling. Men før du bliver præsenteret for disse transformations-teknikker, så lad os koge det lidt ned til vores fag.

Når vi arbejder med signaler til elektronik, arbejder vi ofte med tid og frekvenser.
En tidsdomænerepræsentation viser signalværdier, f.eks. spænding, over tid. En frekvensdomænerepræsentation beskriver frekvenskomponenternes amplituder og faser. Amplitude og frekvens er forskellige egenskaber: En bestemt spænding bestemmer ikke en bestemt frekvens.

De matematiske algoritmer og teknikker, der præsenteres i denne blog er: Fourier-transformationen, Laplace-transformationen og Z-transformen. Selvom de deler nogle ligheder, har de også visse forskelle. Nedenfor ses en oversigt af lighederne og forskellene for disse transformationer.

Nogle ord, der bruges nedenfor er hyperlinks, der fører dig til det afsnit i denne blog, hvor de uddybes.

Domæne

Fourier-transformationen har både tidskontinuerte og tidsdiskrete former; DFT beskriver endelige samplede sekvenser.
Laplace-transformationen bruges normalt til tidskontinuerte signaler; Z-transformen er det tilsvarende værktøj til tidsdiskrete signaler.
Z-transformen arbejder med tidsdiskrete sekvenser.

Kompleksitet og matematik

Fourier-transformationen involverer kompleks eksponentiel funktion.
Laplace-transformationen bruger et integral med en kompleks eksponentialkerne og et konvergensområde. Komplekse logaritmer er ikke et definerende krav.
Z-transformen bruger en sum af sekvensværdier vægtet med potenser af z og har et konvergensområde.

Stabilitetsanalyse

Stabilitetsanalyse er den del af systemer og kontrolteori, som bruges til at studere og forudsige stabilitets- eller ustabilitetskarakteristika for et system.

Laplace-transformationen bruges ofte til stabilitetsanalyse af lineære tidsinvariante systemer (LTI).
Z-transformen bruges til stabilitetsanalyse af digitale filtre (et digitalt filter kan f.eks. være en del af fjernelsen af baggrundsstøj til en stemmeoptagelse).
Fourier-transformationen beskriver frekvensrespons, hvor den findes; stabilitetsanalyse kræver normalt også information om impulsrespons eller poler og konvergensområde.

Frekvens domæne repræsentation

Fourier-transformationen kortlægger et tidssignal til en frekvensrepræsentation; tidskontinuert og tidsdiskret Fourier-transform har kontinuert frekvensvariabel, mens DFT bruger diskrete frekvenspunkter.
Laplace-transformationen kortlægger et tidssignal til det komplekse frekvensdomæne s.
Z-transformen kortlægger en tidsdiskret sekvens til det komplekse z-plan. På enhedscirklen, hvor konvergensen tillader det, giver den tidsdiskret frekvensrespons.

For at opsummere så har hver af disse transformationer sine egne unikke funktioner og applikationer og beslutningen for hvilken transformation, som skal benyttes, afhænger af de specifikke krav til det signalbehandlingsproblem, der behandles.

Hvad er continuous-time og tidsdiskrete signaler?
Så forskellen mellem disse to typer signaler er relateret til tidsaksen t på grafen vist nedenfor i figur 2. Hvis signalet er defineret for alle værdierne af tid, t, så siges signalet at være et tidskontinuert signal, som vi ser i figur 2a og 2b.
Hvis signalet er et tidsdiskret signal, vil det betyde, at signalet ikke er defineret for alle værdier af t, som vi ser i figur 2c og 2d.


Figur 2: Er en illustration af grafer, der viser continuous og tidsdiskret signals, hvor,
t = tid
x(t) en eller anden funktion af tid
(a) Tidskontinuert signal i form af en sinusbølge, fordi t er defineret for alle tidsværdier
(b) Et toniveausignal i kontinuert tid: Værdien er defineret på alle tidspunkter, selv om amplituden har diskrete niveauer.
(c) En samplet sinusbølge, som kun er defineret ved diskrete samplingstidspunkter.
(d) Her ser vi, at sekvenserne, eller impulserne, ikke er defineret for alle værdier af t, og derfor er (d) et tidsdiskret signal.

Så hvad er et lineært tidsinvariant system (LTI)?
Linearitet betyder superposition: Hvis indgangene x1 og x2 giver udgangene y1 og y2, giver indgangen a·x1+b·x2 udgangen a·y1+b·y2 for vilkårlige konstanter a og b. Det omfatter både addition og skalering.
Tidsinvarians betyder, at en forsinkelse af indgangen med t0 forsinker den tilsvarende udgang lige så meget uden ellers at ændre responsen. Ikke alle systemer er lineære eller tidsinvariante.

Lad os illustrere superposition med signaler. Vi inputter den røde og blå bølge separat i et LTI-system og får de tilsvarende lilla og turkise udgange, se figur 3.


Figur 3: Rød og blå er input til et LTI-system og lilla og turkis er deres tilsvarende output.

Så hvis vi inputter summen af ​​de to foregående input, vil vi så få summen af ​​de to foregående output, se figur 4.


Figur 4: Her er de røde og blå et enkelt input, og den lilla og turkise er dens tilsvarende output.

Sammenhængen mellem figur 3 og 4 kaldes superpositionsprincippet. I et lineært system er responsen på en sum af stimuli lig summen af de enkelte responser; skalering af stimuli skalerer også responserne.
Et ikke-lineært system opfylder ikke superposition for alle gyldige indgange og skaleringer. Dets funktion kan derfor generelt ikke genskabes ved blot at lægge individuelle responser sammen. Sååå, lad os ligge ikke-linære systemer til siden. For nu. Et godt solidt skridt ad gangen er sommetider den hurtigste metode.

Hvad er en kompleks frekvens/complex frequency?
Betyder kompleks frekvens en frekvens gemt i den femte dimension, som findes med fantasi? Desværre ikke! For Laplace-transformen er kompleks frekvens s = σ + jω. Realdelen σ beskriver eksponentiel vækst eller henfald, og imaginærdelen ω beskriver vinkelfrekvensen for svingningen. Det betyder ikke blot ”frekvens med faseinformation”.Fase? Hvad er det?Selv et enkelt sinusformet signal kræver fase ud over amplitude og frekvens for at angive sin tidsplacering i forhold til en reference. Komplekse tal repræsenterer bekvemt sinusformet amplitude og fase. Denne fasorrepræsentation er beslægtet med, men forskellig fra, den komplekse frekvensvariabel s. Kompleks aritmetik er et nyttigt værktøj til at forenkle beregninger i elektriske systemer.
Komplekse tal skrives ofte a+ib, hvor a og b er reelle, og i er den imaginære enhed. De består af en realdel og en imaginærdel – eller mere præcist ét reelt tal plus et andet reelt tal ganget med den imaginære enhed i, hvor i² = -1. Elektroteknik bruger ofte j i stedet for i for at undgå forveksling med strøm.
For 2 + 3i er realdelen Re lig 2, og imaginærdelen Im lig 3. Det imaginære led er 3i.

Fourier Transformation

Fourier-transformen opdeler signaler i frekvenskomponenter, repræsenteret gennem sinusfunktioner eller komplekse eksponentialfunktioner. Det gør analyse, bearbejdning og fortolkning lettere.

Fourier-transformationen kortlægger et signal fra tidsdomænet, hvor signalet er repræsenteret som en funktion af tiden, til frekvensdomænet, hvor signalet er repræsenteret som en funktion af frekvensen.

Dette koncept kan fx. være et værktøj til at isolere specifikke ønskede frekvenser fra input, ved at filtrere frekvenser, der falder uden for en vis grænse.
Vigtige Fourier-repræsentationer omfatter
den tidskontinuerte Fourier-transform (CTFT), den tidsdiskrete Fourier-transform (DTFT) og den diskrete Fourier-transform (DFT).
DTFT repræsenterer en tidsdiskret sekvens med en kontinuert, periodisk frekvensvariabel. DFT repræsenterer en endelig sekvens med et endeligt antal frekvenspunkter.
CTFT gælder for tidskontinuerte signaler under passende eksistensbetingelser.

Laplace Transformation

Laplace-transformen forenkler matematikken for signalers indgange og udgange. Den transformerer et tidskontinuert signal til det komplekse s-domæne, hvor analysen kan være lettere end direkte i tid. Konvergensområdet er en del af transformbeskrivelsen.

Z-Transformation

Z-transformen er et matematisk værktøj til analyse og repræsentation af tidsdiskrete signaler. Ligesom Laplace-transformen kan den forenkle matematikken. Den kortlægger en sekvens fra diskret tid til en funktion af den komplekse variabel z.

Z-transformen og dens konvergensområde bruges til analyse og design af digitale filtre og andre tidsdiskrete systemer. Evaluering på enhedscirklen, når den er gyldig, forbinder den med frekvensanalyse.
En vigtig fordel er muligheden for at analysere og designe digitale filtre til telekommunikation, lyd- og videobehandling og kontrolsystemer. Den repræsenterer også overføringsfunktioner for tidsdiskrete LTI-systemer og gør deres funktion lettere at studere.

Overordnet set er Fourier-transformationen, Laplace-transformationen og Z-transformen kraftfulde og meget anvendte matematiske værktøjer, der giver værdifuld indsigt i mange systemers adfærd og egenskaber.